45 源源不絕
  • 適合年齡/ 10歲以上
  • 所屬單位/ 臺北市立松山高級中學
  • 指導老師/ 蔡皓偉
  • 類別/ 物理
  • 攤位位置/ 教學研究大樓
  • 備註/ 

    • 這是什麼樣的活動?  實驗     觀察    實作

     

    • 適合年齡:     □全年齡       V   10  歲以上

     

    • 活動內容簡述:

      物理教具概念與實作,共三個主題,讓參觀的大小朋友親自體驗科學的奧妙。現場將發送可自製的光譜儀。
      以「做中學」方式來體會數學意涵,參與者透過玩數學的方式,感受到生活中數學的多變有趣,共六個主題。

     

    • 運用原理和操作步驟

      一、人力四驅車

      我們使用傳統的腳踏車發電機(如右圖所示),當發電機頂部的軸承與腳踏車的輪緣接觸時,
      利用腳踏車的車輪帶動發電機的軸承轉動,進而帶動發電機內部的磁鐵轉動,因電磁感應使發電機產生約60伏特的
      交流電,再將此交流電接到電腦的電源供應,使交流電變成6伏特及2.5伏特的直流電,因接觸電阻的關係,
      當6伏特的直流電接到四驅車的時,大約只有3伏特的直流電輸入,這樣的電壓可以驅動四驅車的馬達運轉
      (四驅車原來是使用3伏特的電池供應電源)。當然以上的電壓關係是指平均轉速下的數據,當不同的轉速則產生不同的電壓,
      即可以產生不同的車速。

      二、接接接

      1. 將沙包放置於滑車發射架上,讓滑車作等速直線運動,觀察沙包經過發射點後的軌跡,滑車能再接到沙包嗎?
      2. 滑車末端繫上細繩,繩子經過軌道末端的滑輪垂直向下繫上一砝碼,重做實驗,滑車能再接到沙包嗎?
      3. 將繫繩與砝碼卸下,把軌道起點抬高,重做上述實驗,滑車能再接到沙包嗎?
      4. 教具與物理的關聯性:高二物理的慣性定律、加速度作用與向量獨立性有關。

      三、抗力錐擺

      1. 架子上的繩子可以滑動,其中一端吊掛一個鐵球,另一端掛一砝碼架。
      2. 用手擺動鐵球使之旋轉形成為錐擺,並觀察其變化。
      3. 砝碼架再外加砝碼後,觀察其變化。
      4. 修正之前第一版角度過大會撞擊的情況。
      5. 教具與物理的關聯性:高二物理牛頓運動定律、圓周運動向心力、角動量等概念有關。


       四、權衡真偽

    • 主要透過無刻度的天平找尋出重量不一樣的代幣,運用到邏輯、樹狀圖、遊戲策略等數學知識。
    1. 檯面上有一個無刻度天平和13枚代幣,其中有一枚偽幣和其他代幣重量不一樣但不知較輕還是較重,可先詢問來賓如何只秤三次就找出重量不一樣的代幣,讓來賓參與實際操作來找出該枚代幣,來賓透過實際操作應能體會題目本身的難度,而後再進行討論並解析作法。
    2. 在活動進行的過程中,首先要理解到第一次應當在天平兩邊各放置4枚,而後分成平衡與不平衡兩種情形討論,當天平不平衡時,可透過將一部分代幣拿到另一邊來判斷真偽,最後亦須透過已知真幣來輔助找出偽幣,部分結果更能判斷該枚偽幣究竟是較輕還是較重。
    3. 期許本活動能引起對問題的反思,體會高中組合數學在日常生活的應用。

     

    五、度量多少水

    1. 本活動主要透過無刻度的量杯度量指定值,運用到數論中質數、輾轉相除法等數學概念。
    2. 桌面下有兩個無刻度量杯及裝有足量水的水桶,已知兩個量杯裝滿水分別是500與800毫升,希望讓來賓藉由將水倒來倒去的有限步驟,量盛出700毫升的水,更進一步可以詢問600, 400毫升等是否能夠量盛出。
    3. 由於gcd(5,8)=1,由Bézout's identity可知存在整數m,n使得5m+8n=1,故對任意自然數t必存在整數m'=mt, n'=nt使得5m'-8n'=t,於是該活動在有限步驟內完成是必然可行的,以700毫升為例,由於
                                  8 = 5*1 + 3
                                  5 = 3*1 + 2
                                  3 = 2*1 + 1
      從而
                        1 = 3 - 2 = 3 - [5 - 3] = (8 - 5) - [5 - (8 - 5)] = 8*2 - 5*3
      可得
                         7 = 8*14 - 5*21 = 8*(5*2+4) - 5*(8*2+5) = 8*4 - 5*5
    4. 故應將800毫升量杯裝滿後倒在500毫升量杯,每次500毫升量杯裝滿後便倒掉,如此800毫升量杯裝滿4次、從500毫升量杯倒掉5次,在800毫升量杯中所剩水量即為700毫升。
    5. 希望能讓國中以上程度來賓重新體會質數的奧妙,也有讓輾轉相除的操作不僅是紙上談兵。

     

    六、莫比烏斯帶

    1. 首先由表演者聲稱自己是古代神秘巫師,名曰莫比,要來為來賓進行一神奇的魔術,而後將「緞帶」從中線剪開,先讓來賓猜測該緞帶會不會變成兩條,而後發現仍然為一條「緞帶」;其後,亦可讓來賓將紙條翻轉黏貼製作「緞帶」,以體會莫比烏斯帶(Möbius strip)的拓樸性質。
    2. 希望能讓來賓感受數學的神奇之處,並以此作為拓樸的初探。

     

    七、幾何吸管

    1. 本活動主要運用吸管拼湊多面體來更深入了解立體圖形,能夠將幾何概念具象化。
    2.  

    n面體

    正四面體

    正六面體

    正八面體

    正十二面體

    正二十面體

     

    面形

    正三角形

    正四邊形

    正三角形

    正五邊形

    正三角形

    點數 v

    4

    8

    6

    20

    12

    邊數 e

    6

    12

    12

    30

    30

    面數 f

    4

    6

    8

    12

    20

     
    1. 先準備足量吸管,製作步驟如下:1. 以剪刀將吸管裁成等長「邊」;2. 將吸管壓平、對切、裁成比「邊」略小、對摺,以此來製作「點」;3. 將「點」塞入相鄰的「邊」;拼裝成五種正多面體。因此,本活動僅需剪刀即可進行操作,製作正四面體、正六面體、正八面體約需半小時到一小時,而正十二面體、正二十面體需要兩小時左右,可視情況稍微調整,或由多人共同製作一個。
    2. 本活動是透過實際動手操作,體會各種多面體的面形、點數、邊數、面數等各種幾何意義,並觀察出歐拉公式:點數–邊數+面數=2,以此體會數學的趣味,並增加思辨能力。

     

    八、河

    1. 本活動藉由移動圓盤達到將整個塔移動的目標,運用到數列、遞迴關係式與數學歸納法等內涵。
    2. 河內塔是一個數學益智遊戲:有n層大小不同的圓盤,在三個位置之間移動,每次移動只能將較小的圓盤疊到較大的圓盤上,較大的圓盤不能疊在較小的圓盤上,透過有限步驟將此塔從一個位置移動至另一個位置。


                  
       
    3. 先介紹河內塔的遊戲規則,並示範操作n = 4層的移動方式,隨後再讓參與者操作n = 4層或以上的移動方式。其運用數學歸納法原理:當n = 1時需移動1步;若n = k時,將整個塔移到另一柱的步驟為ak;則n = k+1時,可以將整個塔除了最底層外的圓盤移到另一柱,步驟數為ak,接著移動最底層花費1步:再將前一步驟移動的那些圓盤疊到最底層的上方,此需要步驟數為ak,因此有遞迴關係ak+1 = 2ak + 1,即可得一般性an = 2n – 1,故n每增加1,時間消耗幾乎變為原本兩倍,難度將大幅增加,可視情況來調整。

     

    九、魔方陣

    1. 本活動探討一個問題:將1~9排入九宮格,使得每一列、每一行、對角線之和均相等,須透過代數與組合來完成。
    2. 先以撲克牌作為引導,讓參與者自行排列此1~9的數字牌,而後進而討論並發現:每一列、每一行、對角線均相等的數字為15、中間的數必定為5,接下來可以再試探是否有其他排法,於是發現如果翻轉旋轉視為一種的話,那魔方陣僅有一種,而理解為何只有一種方法便需要利用樹狀圖,以此增進思考。
    3. 魔方陣可追源於中國的河圖、洛書,口訣:「戴九履一、左三右七、二四為肩、六八為足、五居中央。」便說明了排列方式。其後,歐洲的拉丁方陣、日本的數獨也可和其相互比較,增進情意部份。

     

    • 注意事項

    1. 由於「量度多少水」活動中有水,希望參與者不要玩水。

    2. 由於「幾何吸管」活動中運用到剪刀,對年齡太小者恐不適合參與。